4. 두 모집단 비교에 대한 추정과 검정

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 두 모집단의 평균 비교 : 표본 추출이 독립적인 경우

 

X바1과 X바2의 비교는 X바1 - X바2로 할 수 있다.

µ1과 µ2의 비교는 µ1 - µ2로 할 수 있다. 

 

 

E(X바1 - X바2) = µ1 - µ2

Var(X바1 - X바2) = Var(X바1) + Var(X바2) - 2Cov(X바1, X바2)

 

두 모집단에서 표본추출이 독립적이라면 Cov(X바1, X바2) = 0이므로,

Var(X바1 - X바2) = Var(X바1) + Var(X바2) = σ1^2 / n1 + σ2^2/n2

 

¡) 두 모집단이 정규분포를 따르면 X바1 - X바2도 정규분포를 따른다.

¡¡) 두 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 자유도가 30 이상이면 X바1 - X바2는 정규분포에 근사하다.

 

 

 

 

 

 

2. µ1 - µ2의 추정 - 표본추출이 독립적인 경우

1) 점추정 : µ1 - µ2의 추정량은 X바1 - X바2이므로 이 값이 점추정값이다.

2) 구간추정 : [ (X바1 - X바2) - Z(√σ1^2 / n1 + σ2^2/n2),(X바1 - X바2) + Z(√σ1^2 / n1 + σ2^2/n2)]

-> 점추정값 +- 오차한계

 

 

 

 

3. 가설 검정 : 모분산 σ1와 σ2를 아는 경우

 

1) 가설 설정

Ho : µ1 = µ2

Ha : µ1 ≠ µ2

 

2) α = 0.05

 

3) Z = (X바1 - X바2) - µ0 / √σ1^2 / n1 + σ2^2/n2

 

4) 검정통계량 Z 계산

 

5) 가설의 채택 / 기각 결정 

 

 

 

4. 가설 검정 : 모분산 σ1와 σ2를 모르는 경우 + n < 30

 

- 두 모집단의 분산이 동일하지 않은 경우

σ1와 σ2를 S1과 S2로 대체한다.

 

따라서, 검정통계량은 

T = (X바1 - X바2) - µ0 / √S1^2 / n1 + S2^2/n2   ~ tdf

자유도(df) = (S1^2 / n1 + S2^2/n2)^2 / { (S1^2 / n1)^2 / (n1 - 1) + (S2^2/n2)^2/(n2-1)}

 

 

- 두 모집단의 분산이 동일한 경우

σ1와 σ2를 모분산 추정량(Sp^2)으로 대체한다.

Sp^2 = { (n1 - 1)S1^2 + (n2 - 1)S2^2 }  /  (n1 + n2 - 2)

 

따라서, 검정통계량은

T = (X바1 - X바2) - µ0 / √Sp^2 / n1 + Sp^2/n2   ~ t(n1+n2-2)

자유도(df) = n1 + n2 - 2

 

 

 

 

 

 

 

5. µ1 µ2의 비교 : 쌍체 비교( 종속추출 표본 )

 

 

 

Di = Xi - Yi로 하면,

E(D) = µD

Var(D바) = σ^2D / n

T = D바 - µD0 / SD / √n  ~t(n-1)

 

 

 

 

 

1) 모평균 차이에 대한 추정 : 쌍체비교

- 점추정 : µD의 점추정값은 표본평균인 d바

- 구간추정 : d바 +- t(sd / √n)

 

 

2) 검정통계량

T = D바 - 0 / SD / √n  ~ t(n-1)

 

 

 

 

 

6. 두 모집단 비율의 비교 : 표본추출이 독립적인 경우

 

비율을 비교하는 대신, 비율의 차이에 대해 추정 및 검정한다.

E(P^1 - P^2) = p1 - p2

Var(P^1 - P^2) = p1(1-p1) / n1 + p2(1-p2) / n2

n1과 n2가 충분히 크면 P^1 - P^2가 정규분포에 근사하다.

 

- 점추정값 : p^1 - p^2

- 구간추정 : [ p^1 - p^2 - Z√p^1(1-p^1) / n1 + p^2(1 - p^2) / n2,  p^1 - p^2 + Z√p^1(1-p^1) / n1 + p^2(1 - p^2) / n2 ]

 

 

 

 

 

 

7. 두 모집단 분산 비교에 대한 검정

F = X1^2 / (n1 - 1) / X2^2 / (n2 - 1) =  S^1 / S^2 ~ F(n1-1, n2-1)